问题详情:
如图1,作∠BPC平分线的反向延长线PA,现要分别以∠APB,∠APC,∠BPC为内角作正多边形,且边长均为1,将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案.例如,若以∠BPC为内角,可作出一个边长为1的正方形,此时∠BPC=90°,而=45是360°(多边形外角和)的,这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形,填充花纹后得到一个符合要求的图案,如图2所示.
图2中的图案外轮廓周长是_____;
在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标,则会标的外轮廓周长是_____.
【回答】
14 21
【解析】根据图2将*长相加可得图案外轮廓周长;设∠BPC=2x,先表示中间正多边形的边数:外角为180°﹣2x,根据外角和可得边数=,同理可得两边正多边形的外角为x,可得边数为,计算其周长可得结论.
【详解】图2中的图案外轮廓周长是:8﹣2+2+8﹣2=14;
设∠BPC=2x,
∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为:,
以∠APB为内角的正多边形的边数为:,
∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6,
根据题意可知:2x的值只能为60°,90°,120°,144°,
当x越小时,周长越大,
∴当x=30时,周长最大,此时图案定为会标,
则则会标的外轮廓周长是=﹣6=21,
故*为14,21.
【点睛】本题考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系,明确正多边形的各内角相等,各外角相等,且外角和为360°是关键,并利用数形结合的思想解决问题.
知识点:正多边形和圆
题型:填空题