问题详情:
如图,⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F.
(1)若∠E=∠F时,求*:∠ADC=∠ABC;
(2)若∠E=∠F=42°时,求∠A的度数;
(3)若∠E=α,∠F=β,且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小.
【回答】
【考点】圆内接四边形的*质;圆周角定理.
【分析】(1)根据外角的*质即可得到结论;
(2)根据圆内接四边形的*质和等量代换即可求得结果;
(3)连结EF,如图,根据圆内接四边形的*质得∠ECD=∠A,再根据三角形外角*质得∠ECD=∠1+∠2,则∠A=∠1+∠2,然后根据三角形内角和定理有∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°,即2∠A+α+β=180°,再解方程即可.
【解答】解:(1)∠E=∠F,
∵∠DCE=∠BCF,
∠ADC=∠E+∠DCE,∠ABC=∠F+∠BCF,
∴∠ADC=∠ABC;
(2)由(1)知∠ADC=∠ABC,
∵∠EDC=∠ABC,
∴∠EDC=∠ADC,
∴∠ADC=90°,
∴∠A=90°﹣42°=48°;
(3)连结EF,如图,
∵四边形ABCD为圆的内接四边形,
∴∠ECD=∠A,
∵∠ECD=∠1+∠2,
∴∠A=∠1+∠2,
∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F=180°,
∴2∠A+α+β=180°,
∴∠A=90°﹣.
【点评】本题考查了圆内接四边形的*质:圆内接四边形的对角互补;圆内接四边形的*质是沟通角相等关系的重要依据,在应用此*质时,要注意与圆周角定理结合起来.在应用时要注意是对角,而不是邻角互补.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:综合题