问题详情：
已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=·(+)+2.
(1)求曲线C的方程;
(2)动点Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l.问:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值.若不存在,说明理由.
【回答】
解:(1)依题意可得=(-2-x,1-y),
=(2-x,1-y),
|+|=,
·(+)=(x,y)·(0,2)=2y,
由已知得=2y+2,
化简得曲线C的方程:x2=4y.
(2)假设存在点P(0,t)(t<0)满足条件,
则直线PA的方程是y=x+t,
直线PB的方程是y=x+t,
曲线C在点Q处的切线l的方程为y=x-,
它与y轴的交点为F(0,-),
由于-2<x0<2,
因此-1<<1.
①当-1<t<0时,-1<<-,存在x0∈(-2,2),使得=,即l与直线PA平行,故当-1<t<0时,不符合题意.
②当t≤-1时,≤-1<,≥1>,
所以l与直线PA,PB一定相交,
分别联立方程组
解得D,E的横坐标分别是
xD=,xE=.
则xE-xD=,
又|FP|=--t,
有S△PDE=|FP|×|xE-xD|=×,
又S△QAB=×4×(1-)=.
于是=×
=×
对任意x0∈(-2,2),要使△QAB与△PDE的面积之比是常数,只需t满足
解得t=-1,此时△QAB与△PDE的面积之比为2,
故存在t=-1,使△QAB与△PDE的面积之比是常数2.
知识点：平面向量
题型：解答题
