问题详情：
已知椭圆
：
的左焦点为
，上顶点为
，长轴长为
，
为直线
：
上的动点，
，
.当
时，
与
重合.
（1）若椭圆
的方程；
（2）若直线
交椭圆
于
，
两点，若
，求
的值.
【回答】
解：
（Ⅰ）依题意得A(0，b)，F(－c，0)，当AB⊥l时，B(－3，b)，
由AF⊥BF得kAF·kBF＝
·
＝－1，又b2＋c2＝6.
解得c＝2，b＝
．
所以，椭圆Γ的方程为
＋
＝1． …4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得A(0，)，依题意，显然m≠0，所以kAM＝－
，
又AM⊥BM，所以kBM＝
，所以直线BM的方程为y＝
(x－m)，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
y＝
(x－m)与
＋
＝1联立得(2＋3m2)x2－6m3x＋3m4－12＝0，
x1＋x2＝
，x1x2＝
． …7分
|PM|·|QM|＝(1＋
)|(x1－m)(x2－m)|
＝(1＋
)|x1x2－m(x1＋x2)＋m2|
＝(1＋
)·
＝
，
|AM|2＝2＋m2， …9分
由AP⊥AQ得，|AM|2＝|PM|·|QM|，
所以
＝1，解得m＝±1． …12分
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
