问题详情：
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并*你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
【回答】
（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+2
．
【分析】
（1）结论：CF=2DG．只要*△DEG∽△CDF即可；
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.
【详解】
（1）结论：CF=2DG．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴
=
=
，
∴CF=2DG．
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，
此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=
，EG=
，DH=
=
，
∴EH=2DH=2
，
∴HM=
=2，
∴DM=CN=NK=
=1，
在Rt△DCK中，DK=
=
=2
，
∴△PCD的周长的最小值为10+2
．
【点睛】
本题考查正方形的*质、轴对称最短问题、相似三角形的判定和*质、勾股定理等知识，解题的关键是学会理由轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
知识点：相似三角形
题型：解答题
