问题详情：
双曲线C与椭圆
有相同的焦点，直线
为C的一条渐近线.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当
时，求Q点的坐标.
【回答】
解：（1）设双曲线方程为 
由椭圆
，求得两焦点为（－2，0），（2，0）
∴对于双曲线C：c=2，又
为双曲线C的一条渐近线，
∴
解得 
∴双曲线C的方程为 
（2）解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，
设l的方程：
则
∵
∴
∴
∵A(x1, y1)在双曲线C上， ∴
∴
∴
同理有：
若16－k2=0，则直线l过顶点，不合题意。
∴16－k2≠0， ∴
是二次方程 
的两根
∴
∴k2=4，此时△>0， ∴k=±2
∴所求Q的坐标为（±2，0）
解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零。
设l的方程：
∵
∴Q分
的比为
。由定比分点坐标式得：
下同解法一
解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零。
设l的方程：
∵
∴
∴
∴
即
将
∵
，否则l与渐近线平行
∴ 
∴
∴
解法四：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，
设l的方程：
∵
∴
∴ 
同理 
即 
又由 
消去y，得 
当3－k2=0时，则直线l与双曲线的渐近线平行，不合题意，
由韦达定理有：
代入（*）式得k2=4，k=±2
∴所求Q的点的坐标为（±2，0）
知识点：圆锥曲线与方程
题型：计算题
