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椭圆
＋
＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是( )
A． (
，
)B． (
，1)
C． (
，1)D． (
，
)∪(
，1)
【回答】
D
【解析】①当点P与短轴的顶点重合时，
△F1F2P构成以F1F2为底边的等腰三角形，
此种情况有2个满足条件的等腰△F1F2P；
②当△F1F2P构成以F1F2为一腰的等腰三角形时，
以F2P作为等腰三角形的底边为例，
∵|F1F2|＝|F1P|，
∴点P在以F1为圆心，半径为焦距2c的圆上，
因此，当以F1为圆心，半径为2c的圆与椭圆C有2交点时，
存在2个满足条件的等腰△F1F2P，
在△F1F2P1中，|F1F2|＋|PF1|＞|PF2|，即2c＋2c＞2a－2c，
由此得知3c＞a.所以离心率e＞
.
当e＝
时，△F1F2P是等边三角形，与①中的三角形重复，故e≠
.
同理，当F1P为等腰三角形的底边时，在e>
且e≠
时也存在2个满足条件的等腰△F1F2P.
综上，共有6个不同的点P使得△F1F2P为等腰三角形．
综上所述，离心率的取值范围是e∈(
，
)∪(
，1)．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：选择题
