问题详情：
设F1、F2分别为椭圆C：
＋
＝1(a>b>0)的左、右两个焦点．
(1)若椭圆C上的点A(1，
)到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
(3)若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时．
求*：kPM·kPN是与点P位置无关的定值．
【回答】
解：(1)椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a＝4，即a＝2.
又点A
在椭圆上，
因此
＋
＝1得b2＝3，
于是c2＝1.
所以椭圆C的方程为
＋
＝1，
焦点F1(－1,0)，F2(1,0)．
(2)设椭圆C上的动点为K(x1，y1)，线段F1K的中点Q(x，y)满足：
x＝
，y＝
，
即x1＝2x＋1，y1＝2y.因此
＋
＝1.
即
2＋
＝1为所求的轨迹方程．
(3)设点M(m，n)是椭圆
＋
＝1①
上的任一点，N(－m，－n)是M关于原点的中心对称点，则
＋
＝1②
又设P(x，y)是椭圆上任一点，且kPM·kPN存在．
则kPM＝
，kPN＝
，
∴kPM·kPN＝
·＝
.
①－②得
＋
＝0，＝－
，
∴kPM·kPN＝－
.
故kPM·kPN与P的取值无关．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：综合题
