问题详情：
已知点M是椭圆C：
=1（a＞b＞0）上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=4，∠F1MF2=60°，△F1MF2的面积为
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设N（0，2），过点p（﹣1，﹣2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，*：k1+k2为定值．
【回答】
【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题；K3：椭圆的标准方程．
【分析】（I）由余弦定理可得
=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°，结合|F1F2|=2c=4，|MF1|+|MF2|=2a，求出a2，b2的值，可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），与出椭圆方程联立后，利用韦达定理，化简k1+k2可得定值；当直线l斜率不存在时，求出A，B两点坐标，进而求出k1、k2，综合讨论结果，可得结论．
【解答】解：（I）在△F1MF2中，由
|MF1||MF2|sin60°=
，得|MF1||MF2|=
．
由余弦定理，得
=|MF1|2+|MF2|2﹣2|MF1||MF2|cos60°=（|MF1|+|MF2|）2﹣2|MF1||MF2|（1+cos60°）
又∵|F1F2|=2c=4，|MF1|+|MF2|=2a
故16=4a2﹣16，
解得a2=8，故b2=a2﹣c2=4
故椭圆C的方程为
（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1）
由
，得（1+2k2）x2+4k（k﹣2）x+2k2﹣8k=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=
，x1x2=
，
从而k1+k2=
+
=
=2k﹣（k﹣4）
=4． 11分
当直线l斜率不存在时，得A（﹣1，
），B（﹣1，﹣
）
此时k1+k2=4
综上，恒有k1+k2=4．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
