问题详情：
如图，已知F1、F2是椭圆G：
的左、右焦点，直线l：y=k（x+1）经过左焦点F1，且与椭圆G交于A、B两点，△ABF2的周长为
．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程； （Ⅱ）是否存在直线l，使得△ABF2为等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【回答】
解：（Ⅰ）设椭圆G的半焦距为c，因为直线l与x轴的交点为（-1，0），故c=1． 又△ABF2的周长为
，即
，故a=
． 所以，b2=a2-c2=3-1=2． 因此，椭圆G的标准方程为
； 注：本小题也可以用焦点和离心率作为条件，即将周长换离心率． （Ⅱ）不存在．理由如下：先用反*法*AB不可能为底边，即|AF2|≠|BF2|． 由题意知F2（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），假设|AF2|=|BF2|， 则
， 又
，
，代入上式，消去
，得：（x1-x2）（x1+x2-6）=0． 因为直线l斜率存在，所以直线l不垂直于x轴，所以x1≠x2，故x1+x2=6（与x1≤，x2≤
，x1+x2≤2
＜6，矛盾）． 联立方程
，得：（3k2+2）x2+6k2x+3k2-6=0， 所以
=6，矛盾． 故|AF2|≠|BF2|． 再*AB不可能为等腰直角三角形的直角腰． 假设△ABF2为等腰直角三角形，不妨设A为直角顶点． 设|AF1|=m，则
， 在△AF1F2中，由勾股定理得：
，此方程无解． 故不存在这样的等腰直角三角形． 注：本题也可改为是否存在直角三角形？会简单一些．改为是否存在等腰三角形则不易计算，也可修改椭圆方程使存在等腰直角三角形．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
