问题详情：
已知椭圆
，AB分别为椭圆C的左、右顶点，过椭圆C的右焦点F的直线与椭圆C相交于M，N两点（异于点A，B）.
（1）若
，椭圆的焦距为2，求椭圆C的方程；
（2）记直线MA，BN的斜率分别为
，求椭圆C的离心率.
【回答】
（1）
（2）
【解析】
(1)由点M在椭圆上,并结合
,
,可求出椭圆方程；
(2)由点M,N在椭圆上,可得
,化简可求椭圆C的离心率.
【详解】
解：（1）由题意得
,①
,所以
,
所以
,②
由①②可得
,
,
所以椭圆C的方程为
.
（2）由题意得
,
,
,设
,
,
因为点M在椭圆C上,所以
,
所以
.（ⅰ)
设直线
,
联立,得
,消去x并整理得,
,
则
,
,
,（*)
所以
,
将（*）代入上式化简得,
,（ⅱ)
又
所以由（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）得,
,
所以
,即
,解得
或
.
又
,所以
,即椭圆C的离心率为
.
【点睛】
本题考查椭圆的方程、椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系,考查考生的逻辑思维能力和运算求解能力.
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
