问题详情：
已知椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，点M在椭圆C上且位于第一象限内，它关于坐标原点O的对称点为N； 过点M 作x轴的垂线，垂足为H，直线NH与椭圆C交于另一点J，若
，试求以线段NJ为直径的圆的方程；
（3）已知l1、l2是过点A的两条互相垂直的直线，直线l1与圆O：x2+y2=4相交于P、Q两点，直线l2与椭圆C交于另一点R；求△PQR面积取最大值时，直线l1的方程．
【回答】
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（1）由椭圆左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设M（x0，y0），则由条件，知x0＞0，y0＞0，且N（﹣x0，﹣y0），H（x0，0）．推导出
，进而求得直线NH的方程：
．由
．再求出线段HJ的中点坐标，由此能求出以线段NJ为直径的圆的方程．
（3）当直线l1的斜率为0时，
．当直线l1的斜率存在且不为0时，设其方程为y=kx﹣1（k≠0），利用点到直线距离公式、弦长公式、直线垂直、三角形面积公式，结合已知条件能求出结果．
【解答】解：（1）∵椭圆C：
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，短轴的两个端点分别为A、B，且|AB|=2，△ABF为等边三角形．
∴由题意，得：
，
∴椭圆C的方程为
．
（2）设M（x0，y0），则由条件，知x0＞0，y0＞0，且N（﹣x0，﹣y0），H（x0，0）．
从而
．
于是由
．
再由点M在椭圆C上，得
．
所以
，
进而求得直线NH的方程：
．
由
．
进而
．
∴以线段NJ为直径的圆的方程为：
．
（3）当直线l1的斜率不存在时，直线l2与椭圆C相切于点A，不合题意，
当直线l1的斜率为0时，由题意得
．
当直线l1的斜率存在且不为0时，设其方程为y=kx﹣1（k≠0），
则点O到直线l1的距 离为
，从而由几何意义，得
，
由于l2⊥l1，故直线l2的方程为
，由题意得它与椭圆C的交点R的坐标为
，
于是
．
，
，
当且仅当
时，上式取等号．
∵
，故当
时，
，
此时直线l1的方程为：
．（也可写成
．）
知识点：圆锥曲线与方程
题型：综合题
