问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆C:(a>b>0)的短轴长为2,F1,F2分别是椭圆C的左、右焦点,过点F2的动直线与椭圆交于点P,Q,过点F2与PQ垂直的直线与椭圆C交于A、B两点.当直线AB过原点时,PF1=3PF2.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点H(3,0),记直线PH,QH,AH,BH的斜率依次为,,,.
①若,求直线PQ的斜率;
②求的最小值.
【回答】
(1)(2)①或②
【分析】
(1)已知条件有,直线AB过原点时,PQ^x轴,所以△PF1F2为直角三角形,利用椭圆定义和勾股定理可求得,得椭圆方程;
(2)①设直线PQ:,代入到椭圆方程得后化简,设P(,),Q(,),应用韦达定理得,,计算并代入可得;
②分类讨论,当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时,,
当两条直线与坐标轴都不垂直时,由①知,同理可得,计算后应用基本不等式可得最小值.
【详解】
解:(1)因为椭圆C:(a>b>0)的短轴长为2,所以b=1,
当直线AB过原点时,PQ^x轴,所以△PF1F2为直角三角形,
由定义知PF1+PF2=2a,而PF1=3PF2,故,,
由得,化简得a2=2,
故椭圆的方程为.
(2)①设直线PQ:,代入到椭圆方程得:,设P(,),Q(,),则,,
所以
所以,
解得:或,即为直线PQ的斜率.
②当这两条直线中有一条与坐标轴垂直时,,
当两条直线与坐标轴都不垂直时,
由①知,同理可得
故
,
当且仅当即k=±1时取等号.
综上,的最小值为.
【点睛】
本题考查求椭圆的标准方程,考查直线与椭圆相交中定值与最值问题.求椭圆方程时由于已知直线的特殊位置,利用椭圆的定义是解题关键,在直线与椭圆相交问题中,采取设而不求思想方法,即设直线方程,设交点坐标,直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得,代入其他条件化简变形即可得.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题