问题详情:
已知点是椭圆C:上的一点,椭圆C的离心率与双曲线的离心率互为倒数,斜率为直线l交椭圆C于B,D两点,且A、B、D三点互不重合.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若分别为直线AB,AD的斜率,求*:为定值.
【回答】
(1)(2)详见解析
【解析】(1)由题意,可得e==,代入A(1,)得,..........2分
又,解得,.......................................................................3分
所以椭圆C的方程.......................................................................................4分
(2)*:设直线BD的方程为y=x+m,
又A、B、D三点不重合,∴,
设D(x1,y1),B(x2,y2),
则由得4x2+2mx+m2-4=0...................6分
所以△=-8m2+64>0,所以<m<.
x1+x2=-m,....................7分
设直线AB、AD的斜率分别为:kAB、kAD,
则kAD+kAB=...................................9分
=......................................................11分
所以kAD+kAB=0,即直线AB,AD的斜率之和为定值...................................................12分
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题