问题详情：
如果存在常数k使得无穷数列
满足
恒成立，则称为
数列.
（1）若数列
是
数列，
，
，求
；
（2）若等差数列
是
数列，求数列
的通项公式；
（3）是否存在
数列
，使得
，
，
，…是等比数列？若存在，请求出所有满足条件的数列
；若不存在，请说明理由.
【回答】
（1）
；（2）
或
或
；（3）存在；满足条件的
数列
有无穷多个，其通项公式为
.
【分析】
（1）根据
数列的定义，得
，
，可求
；
（2）根据
数列的定义，得
，分
和
两种情况讨论. 当
，
.当
时，由
是等差数列，对
赋值，求出
和公差
，即求
；
（3）假设存在满足条件的
数列
，设等比数列
，
，
，…的公比为q.则有
，
，可得q＝1，故当
时，
.当
时，不妨设
，
且i为奇数，
由
，可得
.
即满足条件的
数列
有无穷多个，其通项公式为
.
【详解】
（1）由数列
是
数列，得
，
，可得
；
（2）由
是
数列知
恒成立，取m＝1得
恒成立，
当
，
时满足题意，此时
，
当
时，由
可得
，取m＝n＝2得
，
设公差为d，则
解得
或者
，
综上，
或
或
，经检验均合题意.
（3）假设存在满足条件的
数列
，
不妨设该等比数列
，
，
，…的公比为q，
则有
，
可得
①
，
可得
②
综上①②可得q＝1，
故
，代入
得
，
则当
时，
，
又
，
当
时，不妨设
，
且i为奇数，
由
，
而
，
，
，
.
综上，满足条件的
数列
有无穷多个，其通项公式为
.
【点睛】
本题考查创新型题目，考查等差数列和等比数列的通项公式，考查学生的逻辑推理能力和计算能力，属于难题.
知识点：数列
题型：解答题
