问题详情：
已知数列
的前
项和
满足
，数列
满足
．
Ⅰ
求数列
和数列
的通项公式；
Ⅱ
令
，若
对于一切的正整数
恒成立，求实数
的取值范围；
Ⅲ
数列
中是否存在
，且 
使
，
，
成等差数列？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【回答】
Ⅰ
，
；
Ⅱ
或
；
Ⅲ
不存在，理由见解析．
【分析】
Ⅰ
利用已知条件通过
，说明数列
是首项为1，公比为2的等比数列，从而可求出
的通项公式，然后求解
的通项公式；
Ⅱ
求出
，判断数列的单调*，结合
对于一切的正整数
恒成立，得到
求解即可；
Ⅲ
假设存在
，使
，
，
成等差数列，推出
说明是与条件矛盾，得到结论．
【详解】
Ⅰ
根据题意，数列
满足
，
当
时，
．当
时，
，
，
即
．
所以数列
是首项为1，公比为2的等比数列
所以
，
；
又由已知
，得
Ⅱ
依题意得
，
．
因为
，
所以当
时，
取得最大值
因为
对于一切的正整数n恒成立，
所以
解得
或
，
所以实数x的取值范围是
或
；
Ⅲ
假设存在
，使
，
，
成等差数列，
则
，即
两边同时除以
，得
因为
为偶数，
为奇数，这与
矛盾．
所以不存在
，使
，
，
成等差数列
【点睛】
本题主要考查数列的应用，通项公式以及数列的单调*，反*法的应用，属于难题．反*法的适用范围：（1）否定*命题与存在*命题；（2）结论涉及“至多”、“至少”、“无限”、“唯一”等词语的命题；（3）命题成立非常明显，直接*所用的理论较少，且不容易*，而其逆否命题非常容易*；（4）要讨论的情况很复杂，而反面情况较少．
知识点：数列
题型：解答题
