问题详情：
已知
，且不等式
对任意的
恒成立.
(Ⅰ) 求
与
的关系；
(Ⅱ) 若数列
满足：
，
，
为数列
的前
项和.求*：
；
(Ⅲ) 若在数列
中，
，
为数列
的前
项和.求*：
.
【回答】
【详解】(Ⅰ) 由题意，令
，可得
，
由不等式
对任意的
恒成立，即不等式
对任意的
恒成立，
所以函数
在
处取得最大值，也是极大值，
因为
，所以
，所以
，
又因为
，所以函数
在
处取得极大值，符合题意，
所以正数
的关系为
。
(Ⅱ) 由（Ⅰ）令
，不等式
对任意的
恒成立，
所以
，即
又由
，
所以数列
的前
项和
，
又由
，所以
，即
成立。
(Ⅲ) 由数列
中，
，
为数列
的前
项和，所以
，
令
，则
，
当
时，
，则
在
单调递减，
当
时，
，则
在
单调递增，
所以当
，函数取得最小值，最小值为
，即
恒成立，
即
成立，即
恒成立，当且仅当
取等号，
令
，所以
，即
成立，
所以
所以
，
即
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的*，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调*，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
知识点：数列
题型：解答题
