问题详情:
如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的边AB在x轴上,AB、BC的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根(BC>AB),OA=2OB,边CD交y轴于点E,动点P以每秒1个单位长度的速度,从点E出发沿折线段ED﹣DA向点A运动,运动的时间为t(0≤t<6)秒,设△BOP与矩形AOED重叠部分的面积为S.
(1)求点D的坐标;
(2)求S关于t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)在点P的运动过程中,是否存在点P,使△BEP为等腰三角形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)∵x2﹣7x+12=0,
∴x1=3,x2=4,
∵BC>AB,
∴BC=4,AB=3,
∵OA=2OB,
∴OA=2,OB=1,
∵四边形ABCD是矩形,
∴点D的坐标为(﹣2,4);
(2)设BP交y轴于点F,
如图1,当0≤t≤2时,PE=t,
∵CD∥AB,
∴△OBF∽△EPF,
∴=,即=,
∴OF=,
∴S=OF•PE=••t=;
如图2,当2<t<6时,AP=6﹣t,
∵OE∥AD,
∴△OBF∽△ABP,
∴=,即=,
∴OF=,
∴S=•OF•OA=××2=﹣t+2;
综上所述,S=;
(3)由题意知,当点P在DE上时,显然不能构成等腰三角形;
当点P在DA上运动时,设P(﹣2,m),
∵B(1,0),E(0,4),
∴BP2=9+m2,BE2=1+16=17,PE2=4+(m﹣4)2=m2﹣8m+20,
①当BP=BE时,9+m2=17,解得m=±2,
则P(﹣2,2);
②当BP=PE时,9+m2=m2﹣8m+20,解得m=,
则P(﹣2,);
③当BE=PE时,17=m2﹣8m+20,解得m=4±,
则P(﹣2,4﹣);
综上,P(﹣2,2)或(﹣2,)或(﹣2,4﹣).
知识点:各地中考
题型:综合题