问题详情:
如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,,点、分别在线段、上,且,其中,连接,延长与的延长线交于点,连接.
(Ⅰ)求*:平面;
(Ⅱ)若时,求二面角的正弦值;
(Ⅲ)若直线与平面所成角的正弦值为时,求值.
【回答】
(Ⅰ)*见解析;(Ⅱ);(Ⅲ).
【分析】
(Ⅰ)在线段上取一点,使得,,*四边形为平行四边形,得到,然后*平面.
(Ⅱ)以为坐标原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,求出平面的一个法向量,平面的一个法向量利用空间向量的数量积,求解二面角的正弦值.
(Ⅲ)令,,,,,求出平面的一个法向量利用空间向量的数量积转化求解即可.
【详解】
(Ⅰ)在线段上取一点,使得,,
且,
,
,且,
且,
四边形为平行四边形,
,
又平面,平面,
平面.
(Ⅱ)以为坐标原点,分别以,,为,,轴建立空间直角坐标系,0,,,0,,,2,,,2,,,0,,
,,1,,,0,
设平面的一个法向量为,
,,
,令,,,
设平面的一个法向量为,
,,
,
令,,,,
,
,
二面角的正弦值为.
(Ⅲ)令,,,,,
设平面的一个法向量为,
,,
,令,
,
由题意可得:,
,
,.
【点睛】
本题考查直线与平面平行的判断定理的应用,二面角的平面角的求法,直线与平面所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题