如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆W:+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点且垂直于x轴的...

问题详情：

如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆W:+=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点且垂直于x轴的直线交椭圆所得的弦的弦长为,过点A的直线与椭圆W交于另一点C.

(1)求椭圆W的标准方程.

(2)当AC的斜率为时,求线段AC的长.

(3)设D是AC的中点,且以AB为直径的圆恰过点D,求直线AC的斜率.

【回答】

【解析】(1)由=,设a=3k(k>0),则c=k,b2=3k2,

所以椭圆W的方程为+=1,

把x=k代入椭圆方程,解得y=±k,于是2k=,即k=,

所以椭圆W的标准方程为+y2=1.

(2)由已知A(0,-1),

直线AC的方程为y=x-1.

由得2x2-3x=0,

解得x=或x=0(舍),

所以点C的坐标为,

所以|AC|==.

(3)依题意,设直线AC的方程为y=k1x-1,k1≠0.

由得(3+1)x2-6k1x=0,

解得x=或x=0(舍),所以点C的横坐标为,

设点D的坐标为(x0,y0),则x0=,

y0=k1x0-1=,

因为以AB为直径的圆恰过点D,

所以|OD|=1,

即+=1.

整理得=,所以k1=±.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题