问题详情：
已知双曲线
，点
、
分别为双曲线
的左、右焦点，动点
在
轴上方.
（1）若点
的坐标为
是双曲线的一条渐近线上的点，求以
、
为焦点且经过点
的椭圆的方程；
（2）若∠
，求△
的外接圆的方程；
（3）若在给定直线
上任取一点
，从点
向(2)中圆引一条切线，切点为
. 问是否存在一个定点
，恒有
？请说明理由.
【回答】
解：（1）双曲线
的左、右焦点
、
的坐标分别为
和
，
∵双曲线的渐进线方程为：
，
∴点
的坐标为
是渐进线
上的点，即点
的坐标为
。
∵
∴椭圆的长轴长
∵半焦距
，∴椭圆的方程
……………………..5分
（2）∵
，∴
，即
又圆心在线段
的垂直平分线上，故可设圆心
由
。∴△
的外接圆的方程为
……………..9分
（3）假设存在这样的定点
设点P的坐标为
∵恒有
，∴
即
对
恒成立。
从而
，消去
，得
∵方程
的判别式
∴①当
时，方程
无实数解，∴不存在这样的定点
；
②当
时，方程
有实数解，此时
，即直线
与圆相离或相切，故此时存在这样的定点
知识点：圆锥曲线与方程
题型：综合题
