问题详情:
如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,点O在AB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交AC,AB于点E,F.
(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若BD=2,BF=2,求*影部分的面积(结果保留π).
【回答】
(1)直线BC与⊙O相切,*见解析;(2)
【分析】
(1)连接OD,*OD∥AC,即可*得∠ODB=90°,从而*得BC是圆的切线;
(2)在直角三角形OBD中,设OF=OD=x,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为圆的半径,求出圆心角的度数,直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出*影部分面积.
【详解】
解:(1)BC与⊙O相切.理由如下:
连接OD.∵AD是∠BAC的平分线
∴∠BAD=∠CAD.
∵OD=OA
∴∠OAD=∠ODA
∴∠CAD=∠ODA
∴OD∥AC
∴∠ODB=∠C=90°,即OD⊥BC.
又∵BC过半径OD的外端点D,∴BC与⊙O相切;
(2)设OF=OD=x,则OB=OF+BF=x+2.
根据勾股定理得:,
即,
解得:x=2,即OD=OF=2
∴OB=2+2=4.
Rt△ODB中
∵OD=OB
∴∠B=30°
∴∠DOB=60°
∴S扇形DOF==
则*影部分的面积为S△ODB﹣S扇形DOF==.
故*影部分的面积为.
知识点:勾股定理
题型:解答题