问题详情：
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，﹣4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a(x+1)(x﹣3)＝﹣1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则﹣1＜x1＜x2＜3．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【回答】
B
【分析】
根据顶点坐标得到对称轴表达式，根据二次函数的对称*，得到x=-2和x=4时y的值关于对称轴对称，即可判断①； 结合①中结论，根据函数图像即可判断②； 首先根据对称轴得到a和b的关系，然后根据顶点坐标得到a和c的关系，求出当x=4时，y的值即可判断③； 根据二次函数与一元二次方程的关系，得到a(x+1)(x﹣3)＝0的解，而a(x+1)(x﹣3)＝﹣1为函数y=a(x+1)(x﹣3)和直线y=-1的交点，即将函数y=a(x+1)(x﹣3)向上平移一个单位时，新函数与x轴的交点即为a(x+1)(x﹣3)＝﹣1的解，可判断④．
【详解】
①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为
∴函数的对称轴为x＝
∴根据二次函数的对称*，当x=-2和x=4时，y的值相等
∴当x=-2时，y=4a﹣2b+c＞0
于是①的结论正确；
②∵点A（4，y1）关于直线x＝1的对称点为
∴当y2＞y1，则x2＞4或x2＜﹣2，
于是②错误；
③当x＝4时，y1＝16a+4b+c＝16a﹣8a﹣3c＝5a，
∴当﹣1≤x2≤4，则﹣3a≤y2≤5a，
于是③错误；
④∵方程
有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，
∴抛物线
与直线y＝﹣1交点的坐标
和
∵抛物线
时，x＝﹣1或3，
即抛物线
与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）和（3，0），
∴﹣1＜x1＜x2＜3，
于是④正确．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合知识，二次函数和一元二次方程，二次函数和不等式，题目综合*较强，熟练掌握二次函数的基本知识并灵活运用是本题的关键．
知识点：二次函数的图象和*质
题型：选择题
