问题详情:
如图,二次函数y=﹣+bx+2的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣4,0),P是抛物线上一点(点P与点A、B、C不重合).
(1)b= ,点B的坐标是 ;
(2)设直线PB与直线AC相交于点M,是否存在这样的点P,使得PM:MB=1:2?若存在求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由;
(3)连接AC、BC,判断∠CAB和∠CBA的数量关系,并说明理由.
【回答】
【解答】解:(1)∵点A(﹣4,0)在二次函数y=﹣+bx+2的图象上,
∴﹣﹣4b+2=0,
∴b=﹣.
当y=0时,有﹣x2﹣x+2=0,
解得:x1=﹣4,x2=,
∴点B的坐标为(,0).
故*为:﹣;(,0).
(2)当x=0时,y=﹣x2﹣x+2=2,
∴点C的坐标为(0,2).
设直线AC的解析式为y=kx+c(k≠0),
将A(﹣4,0)、C(0,2)代入y=kx+c中,
得:,解得:,
∴直线AC的解析式为y=x+2.
假设存在,设点M的坐标为(m,m+2).
①当点P、B在直线AC的异侧时,点P的坐标为(m﹣,m+3),
∵点P在抛物线y=﹣x2﹣x+2上,
∴m+3=﹣×(m﹣)2﹣×(m﹣)+2,
整理,得:12m2+20m+9=0.
∵△=202﹣4×12×9=﹣32<0,
∴方程无解,即不存在符合题意得点P;
②当点P、B在直线AC的同侧时,点P的坐标为(m+,m+1),
∵点P在抛物线y=﹣x2﹣x+2上,
∴m+1=﹣×(m+)2﹣×(m+)+2,
整理,得:4m2+44m﹣9=0,
解得:m1=﹣,m2=,
∴点P的横坐标为﹣2﹣或﹣2+.
综上所述:存在点P,使得PM:MB=1:2,点P的横坐标为﹣2﹣或﹣2+.
(3)∠CBA=2∠CAB,理由如下:
作∠CBA的角平分线,交y轴于点E,过点E作EF⊥BC于点F,如图2所示.
∵点B(,0),点C(0,2),
∴OB=,OC=2,BC=.
设OE=n,则CE=2﹣n,EF=n,
由面积法,可知:OB•CE=BC•EF,即(2﹣n)=n,
解得:n=.
∵==,∠AOC=90°=∠BOE,
∴△AOC∽△BOE,
∴∠CAO=∠EBO,
∴∠CBA=2∠EBO=2∠CAB.
【点评】题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与*质,解题的关键是:(1)由点A的坐标,利用二次函数图象上点的坐标特征求出b的值;(2)分B、P在直线AC的同侧和异侧两种情况找出点P的坐标;(3)构造相似三角形找出两角的数量关系.
知识点:各地中考
题型:综合题