问题详情:
如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线x=1对称,点A的坐标为(﹣1,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接BC,若点P在y轴上时,BP和BC的夹角为15°,求线段CP的长度;
(3)当a≤x≤a+1时,二次函数y=x2+bx+c的最小值为2a,求a的值.
【回答】
【解答】解:(1)∵点A(﹣1,0)与点B关于直线x=1对称,
∴点B的坐标为(3,0),
代入y=x2+bx+c,得:
,
解得,
所以二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3;
(2)如图所示:
由抛物线解析式知C(0,﹣3),
则OB=OC=3,
∴∠OBC=45°,
若点P在点C上方,则∠OBP=∠OBC﹣∠PBC=30°,
∴OP=OBtan∠OBP=3×=,
∴CP=3﹣;
若点P在点C下方,则∠OBP′=∠OBC+∠P′BC=60°,
∴OP′=OBtan∠OBP′=3×=3,
∴CP=3﹣3;
综上,CP的长为3﹣或3﹣3;
(3)若a+1<1,即a<0,
则函数的最小值为(a+1)2﹣2(a+1)﹣3=2a,
解得a=1﹣(正值舍去);
若a<1<a+1,即0<a<1,
则函数的最小值为1﹣2﹣3=2a,
解得:a=﹣2(舍去);
若a>1,
则函数的最小值为a2﹣2a﹣3=2a,
解得a=2+(负值舍去);
综上,a的值为1﹣或2+.
知识点:各地中考
题型:解答题