问题详情:
如图,直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,过A,C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B.
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接BC,点N是线段BC上的动点,作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D,求线段ND长度的最大值;
(3)若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点,点M(4,m)是该二次函数图象上一点,在x轴,y轴上分别找点F,E,使四边形HEFM的周长最小,求出点F、E的坐标.
【回答】
解:(1)∵直线y=5x+5交x轴于点A,交y轴于点C,
∴A(-1,0),C(0,5),
∵二次函数y=ax2+4x+c的图象过A,C两点,
∴,
解得,
∴二次函数的表达式为y=-x2+4x+5;
(2)如解图①,
第2题解图①
∵点B是二次函数的图象与x轴的交点,
∴由二次函数的表达式为y=-x2+4x+5得,点B的坐标B(5,0),
设直线BC解析式为y=kx+b,
∵直线BC过点B(5,0),C(0,5),
∴,
解得,
∴直线BC解析式为y=-x+5,
设ND的长为d,N点的横坐标为n,
则N点的坐标为(n,-n+5),
D点的坐标为(n,-n2+4n+5),
则d=|-n2+4n+5-(-n+5)|,
由题意可知:-n2+4n+5>-n+5,
∴d=-n2+4n+5-(-n+5)=-n2+5n=-(n-)2+,
∴当n=时,线段ND长度的最大值是;
(3)∵点M(4,m)在抛物线y=-x2+4x+5上,
∴m=5,∴M(4,5).
∵抛物线y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,
∴顶点坐标为H(2,9),
如解图②,作点H(2,9)关于y轴的对称点H1,则点H1的坐标为H1(-2,9);作点M(4,5)关于x轴的对称点M1,则点M1的坐标为M1(4,-5),连接H1M1分别交x轴于点F,y轴于点E,∴H1M1+HM的长度是四边形HEFM的最小周长,则点F,E即为所求的点.
第2题解图②
设直线H1M1的函数表达式为y=mx+n,
∵直线H1M1过点H1(-2,9),M1(4,-5),
∴,
解得,
∴y=-x+,
∴当x=0时,y=,即点E坐标为(0,),
当y=0时,x=,即点F坐标为(,0),
故所求点F,E的坐标分别为(,0),(0,).
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题