问题详情：
如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点为点P，经过B、C两点的直线为y=﹣x+3．
（1）求该二次函数的关系式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以点C、P、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【回答】
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）先求出B、C坐标，代入抛物线解析式解方程组即可解决问题．
（2）分三种情形讨论即可①CM=CP，②PM=PC，③MP=MC，画出图形即可解决问题．
（3）分两种情形讨论即可①
=
时，△ABC∽△PBQ1，列出方程即可解决．②当
=
时，△ABC∽△Q2BP，列出方程即可解决．
【解答】解：（1）∵直线y=﹣x+3经过B、C两点，
∴B（3，0），C（0，3），
∵二次函数y=x2+bx+c图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，
∴
解得
，
∴二次函数解析式为y=x2﹣4x+3．
（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，
∴该抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为P（2，﹣1），
∴如图1所示，满足条件的点M分别为
M1（2，7），M2（2，2
﹣1），M3（2，
），M4（2，﹣2
﹣1）．
（3）由（1）（2）得A（1，0），BP=
，BC=3
，AB=2，
如图2所示，连接BP，∠CBA=∠ABP=45°，
①
=
时，△ABC∽△PBQ1，
此时，
=
，
∴BQ1=3，
∴Q1（0，0）．
②当
=
时，△ABC∽△Q2BP，
此时，
=
，
∴BQ2=
，
∴Q2（
，0），
综上所述，存在点Q使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似．
点Q坐标（0，0）或（
，0）．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：综合题
