问题详情:
二次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点A(-1,0),点B(4,0)两点,交y轴于点C.动点M从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动,过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N,交抛物线于点D,连接AC,设运动的时间为t秒.
(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式;
(2)连接BD,当t=时,求△DNB的面积;
(3)在直线MN上存在一点P,当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时,求此时点D的坐标;
(4)当t=时,在直线MN上存在一点Q,使得∠AQC+∠QAC=900,求点Q的坐标.
【回答】
【*】(1)y=-x2+x+2.
(2) 2
(3) D(1,3)
(4)Q(,)或Q(,-)
【考点】二次函数的综合应用.
【考察能力】运算求解能力、推理论*能力、空间想象能力.
【难度】困难
【解析】 (1)将点A(-1,0),点B(4,0)代入y=ax2+bx+2中,得:
解得:
所以,二次函数的表达式为:y=-x2+x+2.
(2) ∵ t=,
∴AM=3,
又∵OA=1, ∴ OM=2,
设BC的解析式为:y=kx+b (k≠0),将点C(0,2)、B(4,0)代入,得:
解得:
所以直线BC的解析式为:y=-x+2.
将x=2分别代入y=-x2+x+2和y=-x+2中,得:D(2,3)、N(2,1)
∴DN=2,
∴ S△DNB=×2×2=2.
(3)过点P作x轴的平行线,交y轴于点E,过点B作y 轴的平行线,交EP的延长线于点F,设D(m,-m2+m+2)、E(0,n)、P(m,n)、F(4,n),由题意得:
△PEC≌△BFP,
∴PE=BF, CE=PF
∴ ∴
所以,点D的坐标为:(1,3).
(4)当t=时,AM=,此时M点在二次函数的对称轴上,
以M点为圆心,AM长为半径作圆,交MN于Q1、Q2两点,
∵C(0,2) ,M(,0)
∴CM==R,
∴C点在该圆上
∴∠ACB=900,
∴∠CAB+∠CBA=900,
∵∠CQ1A=∠CAB, (同弧所对的圆周角)
∴∠C Q1A+∠CBA=900,
∠C Q2A+∠CBA=900,
∴Q(,)或Q(,-)
知识点:各地中考
题型:解答题