问题详情：
如图（1），已知圆O是等边△ABC的外接圆，过O点作MN//BC分别交AB、AC于M、N，且MN=a。另一个与△ABC全等的等边△DEF的顶点D在MN上移动（不与点M、N重合），并始终保持EF//BC，DF交AB于点P，DE交AC于点Q。
（1）试判断四边形APDQ的形状，并进行*；
（2）设DM为x，四边形APDQ的面积为y，试探究y与x的函数关系式；四边形APDQ的面积能取到最大值吗？如果能，请求出它的最大值，并确定此时D点的位置。
（3）如图（2），当D点和圆心O重合时，请判断四边形APDQ的形状，并说明理由；你能发现四边形APDQ的面积与△ABC的面积有何关系吗？为什么？
【回答】
（1）可知四边形APDQ为平行四边形
*：由题知△ABC≌△DEF 且△ABC
△DEF为等边三角形
∴∠BAC=∠EDF=60°
又∵EF//BC，MN//BC
∴EF//BC//MN
∴∠MDF=∠DFE=60°，∠FED=∠EDN=60°
∠MNA=∠BCA=60°，∠QDN=∠QND=60°
∴△DQN为等边三角形
∴∠DQN=∠PDQ=60°，∴PD//AQ
∴∠BAC=∠DQN=60°，∴AP//DQ
∴四边形APDQ为平行四边形
（2）
∴当x取
时，即D点位于MN的中点位置时，四边形APDQ的面积最大，且最大值为
（3）当D点和圆心O重合时，四边形APDQ为菱形
理由：由（1）、（2）可知，△MPO，△QON为等边三角形，且MO=ON
所以△MPQ≌△QON
因此OP=OQ，又因为四边形APDQ为平行四边形。
所以可知四边形APDQ为菱形
由题可知，
，而由（2）知
知识点：二次函数的图象和*质
题型：综合题
