问题详情:
如图,在Rt△ABC中,M是斜边AB的中点,以CM为直径作圆O交AC于点N,延长MN至D,使ND=MN,连接AD、CD,CD交圆O于点E.
(1)判断四边形AMCD的形状,并说明理由;
(2)求*:ND=NE;
(3)若DE=2,EC=3,求BC的长.
【回答】
【解答】(1)解:四边形AMCD是菱形,理由如下:
∵M是Rt△ABC中AB的中点,
∴CM=AM,
∵CM为⊙O的直径,
∴∠CNM=90°,
∴MD⊥AC,
∴AN=CN,
∵ND=MN,
∴四边形AMCD是菱形.
(2)∵四边形CENM为⊙O的内接四边形,
∴∠CEN+∠CMN=180°,
∵∠CEN+∠DEN=180°,
∴∠CMN=∠DEN,
∵四边形AMCD是菱形,
∴CD=CM,
∴∠CDM=∠CMN,
∴∠DEN=∠CDM,
∴ND=NE.
(3)∵∠CMN=∠DEN,∠MDC=∠EDN,
∴△MDC∽△EDN,
∴,
设DN=x,则MD=2x,由此得,
解得:x=或x=﹣(不合题意,舍去),
∴,
∵MN为△ABC的中位线,
∴BC=2MN,
∴BC=2.
【点评】本题考查了圆综合知识,熟练运用圆周角定理、菱形的判定与*质、直角三角形的*质、勾股定理以及相似三角形的判定与*质是解题的关键.
知识点:各地中考
题型:解答题