问题详情:
如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,cosB=,BC=3,P是*线AB上的一个动点,以P为圆心,PA为半径的⊙P与*线AC的另一个交点为D,直线PD交直线BC于点E.
(1)当PA=1时,求CE的长;
(2)如果点P在边AB的上,当⊙P与以点C为圆心,CE为半径的⊙C内切时,
求⊙P的半径;
(3)设线段BE的中点为Q,*线PQ与⊙P相交于点F,点P在运动过程中,当PE∥CF时,求AP的长.2-1-c-n-j-y
【回答】
解:(1)作PH⊥AC,垂足为H,∵PH过圆心,∴AH=DH………………………(1分)
∵∠ACB=90°,∴PH∥BC, ∵cosB=,BC=3,∴AB=5,AC=4
∵PH∥BC,∴,∴,∴…………………………………(1分)
∴……………………………………………………………………………(1分)
∴DC=,又∵,∴,∴……………………………(1分)(2)当⊙P与⊙C内切时,点C在⊙P内,∴点D在AC的延长线上
过点P作PG⊥AC,垂足为G,设PA=,则,…………(1分),,∵,,…(1分)
∵⊙P与⊙C内切,∴………………………………………………………(1分)
∴……………………………………………………(1分)
∴,∴,(舍去)………………………………(1分)
∴当⊙P与⊙C内切时,⊙P的半径为.
(3)∵∠ABC+∠A=90゜,∠PEC+∠CDE=90゜,∵∠A=∠PDA,∴∠ABC=∠PEC
∵∠ABC=∠EBP,∴∠PEC=∠EBP,∴PB=PE…………………………………………(1分)
∵点Q为线段BE的中点,∴PQ⊥BC,∴PQ∥AC
∴当PE∥CF时,四边形PDCF是平行四边形,∴PF=CD………………………………(1分)
当点P在边AB的上时,,…………………………………………(1分)
当点P在边AB的延长线上时,,…………………………………(2分)
综上所述,当PE∥CF时,AP的长为或.
知识点:相似三角形
题型:综合题