问题详情：
如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+
与y轴相交于点A，点B与点O关于点A对称
（1）填空：点B的坐标是 ；
（2）过点B的直线y=kx+b（其中k＜0）与x轴相交于点C，过点C作直线l平行于y轴，P是直线l上一点，且PB=PC，求线段PB的长（用含k的式子表示），并判断点P是否在抛物线上，说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点C关于直线BP的对称点C′恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点P的坐标．
【回答】
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由抛物线解析式可求得A点坐标，再利用对称可求得B点坐标；
（2）可先用k表示出C点坐标，过B作BD⊥l于点D，条件可知P点在x轴上方，设P点纵坐标为y，可表示出PD、PB的长，在Rt△PBD中，利用勾股定理可求得y，则可求出PB的长，此时可得出P点坐标，代入抛物线解析式可判断P点在抛物线上；
（3）利用平行线和轴对称的*质可得到∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，则可求得OC的长，代入抛物线解析式可求得P点坐标．
【解答】解：
（1）∵抛物线y=x2+
与y轴相交于点A，
∴A（0，
），
∵点B与点O关于点A对称，
∴BA=OA=
，
∴OB=
，即B点坐标为（0，
），
故*为：（0，
）；
（2）∵B点坐标为（0，），
∴直线解析式为y=kx+，令y=0可得kx+=0，解得x=﹣
，
∴OC=﹣
，
∵PB=PC，
∴点P只能在x轴上方，
如图1，过B作BD⊥l于点D，设PB=PC=m，
则BD=OC=﹣
，CD=OB=
，
∴PD=PC﹣CD=m﹣
，
在Rt△PBD中，由勾股定理可得PB2=PD2+BD2，
即m2=（m﹣
）2+（﹣
）2，解得m=
+
，
∴PB
+
，
∴P点坐标为（﹣
， +），
当x=﹣
时，代入抛物线解析式可得y=
+
，
∴点P在抛物线上；
（3）如图2，连接CC′，
∵l∥y轴，
∴∠OBC=∠PCB，
又PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC，
∴∠PBC=∠OBC，
又C、C′关于BP对称，且C′在抛物线的对称轴上，即在y轴上，
∴∠PBC=∠PBC′，
∴∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°，
在Rt△OBC中，OB=
，则BC=1
∴OC=
，即P点的横坐标为
，代入抛物线解析式可得y=（
）2+
=1，
∴P点坐标为（，1）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有轴对称的*质、平行线的*质、勾股定理、等腰三角形的*质、二次函数的*质等．在（2）中构造直角三角形，利用勾股定理得到关于PC的长的方程是解题的关键，在（3）中求得∠OBC=∠CBP=∠C′BP=60°是解题的关键．本题考查知识点较多，综合*较强，难度适中．
知识点：各地中考
题型：综合题
