问题详情:
在平面直角坐标系中,O为原点,直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A,与直线y=﹣x交于点B,点B关于原点的对称点为点C.
(Ⅰ)求过B,C两点的抛物线y=ax2+bx﹣1解析式;
(Ⅱ)P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;
②若点P的横坐标为t(﹣1<t<1),当t为何值时,四边形PBQC面积最大?最大值是多少?并说明理由.
【回答】
【考点】HF:二次函数综合题.
【分析】(Ⅰ)首先求出A、B、C三点坐标,再利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(Ⅱ)①当四边形PBQC为菱形时,可知PQ⊥BC,则可求得直线PQ的解析式,联立抛物线解析式可求得P点坐标;
②过P作PD⊥BC,垂足为D,作x轴的垂线,交直线BC于点E,由∠PED=∠AOC,可知当PE最大时,PD也最大,用t可表示出PE的长,可求得取最大值时的t的值.
【解答】解:
(Ⅰ)联立两直线解析式可得,
解得,
∴B点坐标为(﹣1,1),
又C点为B点关于原点的对称点,
∴C点坐标为(1,﹣1),
∵直线y=﹣2x﹣1与y轴交于点A,
∴A点坐标为(0,﹣1),
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
把A、B、C三点坐标代入可得,
解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣1;
(Ⅱ)①当四边形PBQC为菱形时,则PQ⊥BC,
∵直线BC解析式为y=﹣x,
∴直线PQ解析式为y=x,
联立抛物线解析式可得,
解得或,
∴P点坐标为(1﹣,1﹣)或(1+,1+);
②当t=0时,四边形PBQC的面积最大.
理由如下:
如图,过P作PD⊥BC,垂足为D,作x轴的垂线,交直线BC于点E,
则S四边形PBQC=2S△PBC=2×BC•PD=BC•PD,
∵线段BC长固定不变,
∴当PD最大时,四边形PBQC面积最大,
又∠PED=∠AOC(固定不变),
∴当PE最大时,PD也最大,
∵P点在抛物线上,E点在直线BC上,
∴P点坐标为(t,t2﹣t﹣1),E点坐标为(t,﹣t),
∴PE=﹣t﹣(t2﹣t﹣1)=﹣t2+1,
∴当t=0时,PE有最大值1,此时PD有最大值,即四边形PBQC的面积最大.
【点评】本题考查二次函数的综合应用、待定系数法、菱形的判定和*质、三角形的面积等知识,解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题,学会构建方程组确定两个函数交点坐标.学会利用参数解决问题,属于中考压轴题.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题