问题详情：
如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=
，∠BAD=90°．
（Ⅰ）求*：AD⊥BC；
（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．
【回答】
(Ⅰ)*见解析；(Ⅱ)
；(Ⅲ)
．
【解析】
分析：（Ⅰ）由面面垂直的*质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC．
（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得
．则异面直线BC与MD所成角的余弦值为
．
（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．计算可得
．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为
．
详解：（Ⅰ）*：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．
（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．
在Rt△DAM中，AM=1，故DM=
．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．
在Rt△DAN中，AN=1，故DN=
．
在等腰三角形DMN中，MN=1，可得
．
所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为
．
（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=
．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM
平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD=
=4．
在Rt△CMD中，
．
所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为
．
点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论*能力．
知识点：点 直线 平面之间的位置
题型：解答题
