问题详情:
如图,在三棱柱中,点在平面内运动,使得二面角的平面角与二面角的平面角互余,则点的轨迹是( )
A. 一段圆弧 B. 椭圆的一部分 C. 抛物线 D. 双曲线的一支
【回答】
D
【解析】
【分析】
将三棱柱特殊化,看作底面以为直角的直角三角形,侧棱与底面垂直,然后设出点的坐标,作出点Q在下底面的投影,由对称*知:点P与点Q的轨迹一致,研究点Q的轨迹即可.
【详解】不妨令三棱柱为直三棱柱,且底面是以为直角的直角三角形,令侧棱长为m,以B的为坐标原点,BA方向为x轴,BC方向为y轴,方向为z轴,建立空间直角坐标系,
设,所以,过点作以于点,作于点,
则即是二面角的平面角,即是二面角的平面角,
所以,
又二面角的平面角与二面角的平面角互余,所以,即,所以,因,所以,
所以有,所以,即点Q的轨迹是双曲线的一支,所以点的轨迹是双曲线的一支.故选D
【点睛】本题主要考查立体几何的综合应用,特殊值法是选择题中非常实用的一种作法,用特殊值法求出点的坐标之间的关系式,即可判断出结果,属于中档试题.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:选择题