问题详情:
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足ab+a2=c2.
(1)求*:C=2A;
(2)若△ABC的面积为a2sin2B,求角C的大小.
【回答】
解(1)在△ABC中,根据余弦定理,c2=a2+b2-2abcosC,
又因为ab+a2=c2,所以ab=b2-2abcosC.
因为b>0,所以b-a=2acosC.
根据正弦定理,sinB-sinA=2sinAcosC.
因为A+B+C=π,即A+C=π-B,
则sinB=sinAcosC+cosAsinC,
所以sinA=sinCcosA-sinAcosC.
即sinA=sin(C-A).
因为A,C∈(0,π),则C-A∈(-π,π),
所以C-A=A,或C-A=π-A(舍去后者).
所以C=2A.
(2)因为△ABC的面积为a2sin2B,所以a2sin2B=acsinB,
因为a>0,sinB>0,所以c=2asinB,
则sinC=2sinAsinB.
因为C=2A,所以2sinAcosA=2sinAsinB,
所以sinB=cosA.
因为A∈0,,
所以cosA=sin-A,
即sinB=sin-A,
所以B=-A或B=+A.
当B=-A,即A+B=时,C=;
当B=+A时,由π-3A=+A,解得A=,则C=
综上,C=或C=
知识点:解三角形
题型:解答题