问题详情:
已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,Sn=n2an(n∈N*).
(1)写出S1,S2,S3,S4,并猜想Sn的表达式;
(2)用数学归纳法*你的猜想,并求出an的表达式.
【回答】
【考点】RG:数学归纳法;F1:归纳推理.
【分析】(1)先根据数列的前n项的和求得S1,S2,S3,S4,可知分母和分子分别是等差数列进而可猜想出Sn.
(2)用数学归纳法*数列问题时分为两个步骤,第一步,先*当n=1时,结论显然成立,第二步,先假设当n=k+1时,有Sk=,利用此假设*当n=k+1时,结论也成立即可.
【解答】解:(1):∵a1=1,Sn=n2an,∴S1=a1=1,
当n=2时,S2=a1+a2=4a2,解得a2=,S2=1+=,
当n=3时,S3=a1+a2+a3=9a3,解得a3=,S3=1++==,
当n=4时,S4=a1+a2+a3+a4=16a4,解得a4=,S4=,
∴Sn=
(2)下面用数学归纳法*
①当n=1时,结论显然成立.
②假设当n=k时结论成立,即Sk=,
则当n=k+1时,则Sk+1=(k+1)2ak+1=(k+1)2(Sk+1﹣Sk),
∴(k2+2k)Sk+1=(k+1)2Sk=(k+1)2,
∴Sk+1=
故当n=k+1时结论也成立.
由①、②可知,对于任意的n∈N*,都有Sn=,
∵Sn=n2an,
∴an===
知识点:数列
题型:解答题