如图,在斜三棱柱中,侧面⊥底面,侧棱与底面成60°的角,.底面是边长为2的正三角形,其重心为点,是线段上一点,...

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如图,在斜三棱柱中,侧面⊥底面,侧棱与底面成60°的角,.底面是边长为2的正三角形,其重心为点, 是线段上一点,且.

(1)求*://侧面;

(2)求平面与底面所成锐二面角的余弦值;

【回答】

解法1:(1)延长B1E交BC于点F,

∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC,

从而点F为BC的中点.

∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且,

又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.                                  …………5分

(2)在侧面AA1B1B内,过B1作B1H⊥AB,垂足为H,∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,

∴B1H⊥底面ABC.又侧棱AA1与底面ABC成60°的角,AA1=2,∴∠B1BH=60°,BH=1,B1H= 

在底面ABC内,过H作HT⊥AF,垂足为T,连B1T,由三垂线定理有B1T⊥AF,

又平面B1CE与底面ABC的交线为AF,∴∠B1TH为所求二面角的平面角.      …………8分

∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°,∴HT=AH.在Rt△B1HT中,,

从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为.               …………12分

解法2:(1)∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,    

又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC. 

以O为原点建立空间直角坐标系O—如图,  

则,,,,,. 

∵G为△ABC的重心,∴.,∴,

∴.      又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.  …………6分

(2)设平面B1GE的法向量为,则由得 

可取 又底面ABC的一个法向量为 

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则. 

故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为.                 …………12分

知识点：空间中的向量与立体几何

题型：解答题