问题详情:
如图是函数的部分图象.
(1)求函数的表达式;
(2)若函数满足方程,求在内的所有实数根之和;
(3)把函数的图象的周期扩大为原来的两倍,然后向右平移个单位,再把纵坐标伸长为原来的两倍,最后向上平移一个单位得到函数的图象.若对任意的,方程在区间上至多有一个解,求正数的取值范围.
【回答】
(1)(2)*不唯一,具体见解析(3)
【分析】
(1)根据图像先确定A,再确定,代入一个特殊点再确定.
(2)根据(1)的结果结合图像即可解决.
(3)根据(1)的结果以及三角函数的变换求出即可解决.
【详解】
解:(Ⅰ)由图可知:,即,
又由图可知:是五点作图法中的第二点,
,即.
(Ⅱ)因为的周期为,在内恰有个周期.
⑴当时,方程在内有个实根,
设为,结合图像知,
故所有实数根之和为 ;
⑵当时,方程在内有个实根为,
故所有实数根之和为 ;
⑶当时,方程在内有个实根,
设为,结合图像知,
故所有实数根之和为 ;
综上:当时,方程所有实数根之和为 ;
当时,方程所有实数根之和为 ;
(Ⅲ),
函数的图象如图所示:
则当图象伸长为原来的倍以上时符合题意,
所以.
【点睛】
本题主要考查了正弦函数的变换,根据图像确定函数,方程与函数.在解决方程问题时往往转化成两个函数图像交点的问题解决.本题属于中等题.
知识点:三角函数
题型:解答题