问题详情：
已知函数
.
（1）若函数
在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意
时，函数
的图象恒在函数
图象的下方；
（3）若存在
，使得关于x的方程
有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围.
【回答】
（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）将函数写成分段函数的*质，根据分段函数在
上是单调增函数，即可求得参数的范围；
（2）根据题意，分离参数，将问题转化求解函数在区间上最值的问题，即可求得；
（3）将方程根的个数的问题，转化为函数图像交点个数的问题，求出函数的值域，结合函数的单调*即可求得.
【详解】（1）∵函数
.
由于
在R上是连续的增函数，
所以只要当
时为增函数且当
时也为增函数；
即
，解得
，则a的范围为
.
（2）由题意得对任意的实数
，
恒成立，
即
，当
恒成立，
即
，
∴
，
∴
，
故
且
在
上恒成立，
即在
时，只要
的最大值且
的最小值即可，
而当
时，
为增函数，
；
当
时，
增函数，
，
∴
.
所以满足条件的所有
.
（3）由题意得，关于x的方程
有三个不相等的实数根
有三个不相等的实数根；
即
与
有三个不同的交点；
①当
时，由（1）知，
在R上是增函数，
则关于x的方程
不可能有三个不等的实数根；
②当
时，由
.
当
时，∵
，
∴
对称轴
，
则
在
为增函数；
此时
的值域为
，
当
时，
对称轴
，
∵
，∴
，
∴对称轴
，
则
在
为增函数，此时
的值域为
，
在
为减函数，此时
的值域为
；
综上所述，若存在
，使
与
有三个不同的交点，
则
，
即存在
，使得
即可，
令
，
只要使
即可，而
在
上是增函数，
.
故可得
.
【点睛】本题考查由分段函数在
上的单调*求参数的范围，以及由恒成立问题求参数的范围，涉及由方程根的个数，求参数的范围，属综合*中档题.
知识点：*与函数的概念
题型：解答题
