问题详情:
如图正方形ABCD中,E为AD边上的中点,过A作AF⊥BE,交CD边于F,M是AD边上一点,且有BM=DM+CD.
(1)求*:点F是CD边的中点;
(2)求*:∠MBC=2∠ABE.
【回答】
(1)*见试题解析;(2)*见试题解析.
【解析】
试题分析:(1)由正方形得到AD=DC=AB=BC,∠C=∠D=∠BAD=90°,AB∥CD,根据AF⊥BE,求出∠AEB=∠AFD,推出△BAE≌△ADF,即可*出点F是CD边的中点;
(2)延长AD到G使BM=MG,得到DG=BC=DC,*△FDG≌△FCB,求出B,F,G共线,再*△ABE≌△CBF,得到∠ABE=∠CBF,根据三角形的外角*质即可求出结论.
试题解析:(1)∵正方形ABCD,∴AD=DC=AB=BC,∠C=∠D=∠BAD=90°,AB∥CD,
∵AF⊥BE,∴∠AOE=90°,∴∠EAF+∠AEB=90°,∠EAF+∠BAF=90°,∴∠AEB=∠BAF,
∵AB∥CD,∴∠BAF=∠AFD,∴∠AEB=∠AFD,
∵∠BAD=∠D,AB=AD,∴△BAE≌△ADF,∴AE=DF,
∵E为AD边上的中点,∴点F是CD边的中点;
(2)延长AD到G.使MG=MB.连接FG,FB,
∵BM=DM+CD,∴DG=DC=BC,
∵∠GDF=∠C=90°,DF=CF,∴△FDG≌△FCB(SAS),∴∠DFG=∠CFB,∴B,F,G共线,
∵E为AD边上的中点,点F是CD边的中点,AD=CD,∴AE=CF,
∵AB=BC,∠C=∠BAD=90°,AE=CF,∴△ABE≌△CBF,∴∠ABE=∠CBF,
∵AG∥BC,∴∠AGB=∠CBF=∠ABE,∴∠MBC=∠AMB=2∠AGB=2∠GBC=2∠ABE,
∴∠MBC=2∠ABE.
考点:1.正方形的*质;2.三角形的外角*质;3.全等三角形的判定与*质.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题