问题详情：
如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延长线交BA的延长线于点G，CE的延长线交DA的延长线于点H，连接AC，EF．，GH．
（1）填空：∠AHC ∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）线段AC，AG，AH什么关系？请说明理由；
（3）设AE＝m，
①△AGH的面积S有变化吗？如果变化．请求出S与m的函数关系式；如果不变化，请求出定值．
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值．
【回答】
（1）=；（2）结论：AC2＝AG•AH．理由见解析；（3）①△AGH的面积不变．②m的值为
或2或8﹣4
．.
【解析】
（1）*∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，即可推出∠AHC=∠ACG；
（2）结论：AC2=AG•AH．只要*△AHC∽△ACG即可解决问题；
（3）①△AGH的面积不变．理由三角形的面积公式计算即可；
②分三种情形分别求解即可解决问题.
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，
∴AC＝
，
∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，
∴∠AHC＝∠ACG．
故*为＝．
（2）结论：AC2＝AG•AH．
理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，
∴△AHC∽△ACG，
∴
，
∴AC2＝AG•AH．
（3）①△AGH的面积不变．
理由：∵S△AGH＝
•AH•AG＝
AC2＝
×（4
）2＝16．
∴△AGH的面积为16．
②如图1中，当GC＝GH时，易*△AHG≌△BGC，
可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，
∵BC∥AH，
∴
,
∴AE＝
AB＝
．
如图2中，当CH＝HG时，
易*AH＝BC＝4，
∵BC∥AH，
∴
＝1，
∴AE＝BE＝2．
如图3中，当CG＝CH时，易*∠ECB＝∠DCF＝22.5．
在BC上取一点M，使得BM＝BE，
∴∠BME＝∠BEM＝45°，
∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，
∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，
∴CM＝EM，设BM＝BE＝m，则CM＝EM
m，
∴m+
m＝4，
∴m＝4（
﹣1），
∴AE＝4﹣4（
﹣1）＝8﹣4
，
综上所述，满足条件的m的值为
或2或8﹣4
．
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的*质，全等三角形的判定和*质，相似三角形的判定和*质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
知识点：相似三角形
题型：解答题
