问题详情:
设数列的首项为1,前n项和为,若对任意的,均有(k是常数且)成立,则称数列为“数列”.
(1)若数列为“数列”,求数列的通项公式;
(2)是否存在数列既是“数列”,也是“数列”?若存在,求出符合条件的数列的通项公式及对应的k的值;若不存在,请说明理由;
(3)若数列为“数列”,,设,*:.
【回答】
(1);(2)不存在;(3)*见解析.
【解析】
试题分析:
(1)由题意得,故,两式相减可得,在此基础上可得数列为等比数列,从而可得通项公式.(2)利用反*法可得不存在这样的数列既是“数列”,也是“数列”.(3)由数列为“数列”,可得到对任意正整数恒成立,于是可得,然后根据错位相减法求得,故得,故,即,即结论成立.
试题解析:
(1)因为数列为“数列”,
则
故,
两式相减得:,
又时,,
所以,
故对任意的恒成立,即(常数),
故数列为等比数列,其通项公式为.
(2)假设存在这样的数列,则有,故有
两式相减得:,
故有,
同理由是“数列”可得,
所以对任意恒成立.
所以,
即,
又,
即,
两者矛盾,故不存在这样的数列既是“数列”,也是“数列”.
(3)因为数列为“数列”,
所以,
所以,
故有,,
又时,,
故,满足,
所以对任意正整数恒成立,数列的前几项为:.
故,
所以,
两式相减得 ,
显然,
故,
即.
点睛:
(1)本题属于新概念问题,解题时要从所给出的概念出发,得到相应的结论,然后再借助于数列的有关知识得到相应的结论.
(2)对于存在*问题的解法,可利用反*法求解,解题时在假设的基础上得到矛盾是解题的关键,通过否定假设可得原结论不成立.
知识点:数列
题型:解答题