问题详情:
如图,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F1,F2,线段OF1,OF2的中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形.
(Ⅰ)求该椭圆的离心率和标准方程;
(Ⅱ)过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,
使PB2⊥QB2,求直线l的方程.
【回答】
(1) 如图,设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点为F2(c,0).
因△AB1B2是直角三角形,
又|AB1|=|AB2|,
故∠B1AB2为直角,
因此|OA|=|OB2|,得b=.
结合c2=a2-b2得4b2=a2-b2,
故a2=5b2,c2=4b2,所以离心率e==.………3分
在Rt△AB1B2中,OA⊥B1B2,故S△AB1B2=·|B1B2|·|OA|=|OB2|·|OA|=·b=b2.由题设条件S△AB1B2=4得b2=4,从而a2=5b2=20.因此所求椭圆的标准方程为:+=1.
(2)由(1)知B1(-2,0),B2(2,0).由题意知直线l的倾斜角不为0,故可设直线l的方程为x=my-2.代入椭圆方程得(m2+5)y2-4my-16=0.
设P(x1,y1),Q(x2, y2),则y1,y2是上面方程的两根,
因此y1+y2=,y1·y2=-,
又=(x1-2,y1),=(x2-2,y2),
所以·=(x1-2)(x2-2)+y1y2
=(my1-4)(my2-4)+y1y2=(m2+1)y1y2-4m(y1+y2)+16
=--+16=-,
由PB2⊥QB2,得·=0,
即16m2-64=0,解得m=±2
所以满足条件的直线有两条,其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题