问题详情：
*质探究
如图（1），在等腰三角形
中，
，则底边
与腰
的长度之比为_________．
理解运用
（1）若顶角为
的等腰三角形的周长为
，则它的面积为_________；
（2）如图（2），在四边形
中，
.在边
，
上分别取中点
，连接
.若
，
，求线段
的长．
类比拓展
顶角为
的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为__________(用含
的式子表示)
【回答】
*质探究：
(或
)；理解运用：（1）
；（2）
；类比拓展：
(或
)．
【解析】
*质探究
作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由等腰三角形的*质得出AD=BD，∠A=∠B=30°，由直角三角形的*质得出AC=2CD，AD=
CD，得出AB=2AD=2
CD，即可得出结果；
理解运用
（1）同上得出则AC=2CD，AD=
CD，由等腰三角形的周长得出4CD+2
CD=4+2
，解得：CD=1，得出AB=2
，由三角形面积公式即可得出结果；
（2）①由等腰三角形的*质得出∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，得出∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH即可；
②连接FH，作EP⊥FH于P，由等腰三角形的*质得出PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，由四边形内角和定理求出∠FEH=120°，由等腰三角形的*质得出∠EFH=30°，由直角三角形的*质得出PE=
EF=10，PF=
PE=10
，得出FH=2PF=20
，*MN是△FGH的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；
类比拓展
作AD⊥BC于D，由等腰三角形的*质得出BD=CD，∠BAD=
∠BAC=α，由三角函数得出BD=AB×sinα，得出BC=2BD=2AB×sinα，即可得出结果．
【详解】
*质探究
解：作CD⊥AB于D，如图①所示：
则∠ADC=∠BDC=90°，
∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴AD=BD，∠A=∠B=30°，
∴AC=2CD，AD=
CD，
∴AB=2AD=2
CD，
∴
；
故*为：
(或
)；
理解运用
（1）解：如图①所示：同上得：AC=2CD，AD=
CD，
∵AC+BC+AB=4+2
，
∴4CD+2
CD=4+2
，
解得：CD=1，
∴AB=2
，
∴△ABC的面积=
AB×CD=
×2
×1=
；
故*为：
（2）①*：∵EF=EG=EH，
∴∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，
∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH；
②解：连接FH，作EP⊥FH于P，如图②所示：
则PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，
∴∠FEH=360°-120°-120°=120°，
∵EF=EH，
∴∠EFH=30°，
∴PE=
EF=10，
∴PF=
PE=10
，
∴FH=2PF=20
，
∵点M、N分别是FG、GH的中点，
∴MN是△FGH的中位线，
∴MN=
FH=10
；
类比拓展
解：如图③所示：作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD，∠BAD=
∠BAC=α，
∵
，
∴BD=AB×sinα，
∴BC=2BD=2AB×sinα，
∴
；
故*为：2sinα（或
）．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的*质、直角三角形的*质、三角形中位线定理、四边形内角和定理、解直角三角形等知识；本题综合*强，熟练掌握等腰三角形的*质和含30°角的直角三角形的*质是解题的关键．
知识点：平行四边形
题型：综合题
