问题详情:
是否存在正整数m使得f(n)=(2n+7)·3n+9对任意自然数n都能被m整除,若存在,求出最大的m的值,并*你的结论;若不存在,说明理由.
【回答】
解 由f(n)=(2n+7)·3n+9得,f(1)=36,f(2)=3×36,f(3)=10×36,f(4)=34×36,由此猜想:m=36.
下面用数学归纳法*:
(1)当n=1时,显然成立;
(2)假设n=k(k∈N*且k≥1)时,f(k)能被36整除,即f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除;当n=k+1时,[2(k+1)+7]·3k+1+9=(2k+7)·3k+1+27-27+2·3k+1+9=3[(2k+7)·3k+9]+18(3k-1-1),
由于3k-1-1是2的倍数,故18(3k-1-1)能被36整除,这就是说,当n=k+1时,f(n)也能被36整除.
由(1)(2)可知对一切正整数n都有f(n)=(2n+7)·3n+9能被36整除,m的最大值为36.
知识点:数列
题型:解答题