問題詳情：
如圖，直線y＝5x＋5交x軸於點A，交y軸於點C，過A，C兩點的二次函數y＝ax2＋4x＋c的圖象交x軸於另一點B.
(1)求二次函數的表達式；
(2)連接BC，點N是線段BC上的動點，作ND⊥x軸交二次函數的圖象於點D，求線段ND長度的最大值；
(3)若點H爲二次函數y＝ax2＋4x＋c圖象的頂點，點M(4，m)是該二次函數圖象上一點，在x軸，y軸上分別找點F，E，使四邊形HEFM的周長最小，求出點F、E的座標．
【回答】
解：(1)∵直線y＝5x＋5交x軸於點A，交y軸於點C，
∴A(－1，0)，C(0，5)，
∵二次函數y＝ax2＋4x＋c的圖象過A，C兩點，
∴
，
解得
，
∴二次函數的表達式爲y＝－x2＋4x＋5；
(2)如解圖①，
第2題解圖①
∵點B是二次函數的圖象與x軸的交點，
∴由二次函數的表達式爲y＝－x2＋4x＋5得，點B的座標B(5，0)，
設直線BC解析式爲y＝kx＋b，
∵直線BC過點B(5，0)，C(0，5)，
∴
，
解得
，
∴直線BC解析式爲y＝－x＋5，
設ND的長爲d，N點的橫座標爲n，
則N點的座標爲(n，－n＋5)，
D點的座標爲(n，－n2＋4n＋5)，
則d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，
由題意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，
∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－
)2＋
，
∴當n＝
時，線段ND長度的最大值是
；
（3）∵點M(4，m)在拋物線y＝－x2＋4x＋5上，
∴m＝5，∴M(4，5)．
∵拋物線y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，
∴頂點座標爲H(2，9)，
如解圖②，作點H(2，9)關於y軸的對稱點H1，則點H1的座標爲H1(－2，9)；作點M(4，5)關於x軸的對稱點M1，則點M1的座標爲M1(4，－5)，連接H1M1分別交x軸於點F，y軸於點E，∴H1M1＋HM的長度是四邊形HEFM的最小周長，則點F，E即爲所求的點．
第2題解圖②
設直線H1M1的函數表達式爲y＝mx＋n，
∵直線H1M1過點H1(－2，9)，M1(4，－5)，
∴
，
解得
，
∴y＝－
x＋
，
∴當x＝0時，y＝
，即點E座標爲(0，
)，
當y＝0時，x＝
，即點F座標爲(
，0)，
故所求點F，E的座標分別爲(
，0)，(0，
)．
知識點：二次函數與一元二次方程
題型：解答題
