问题详情：
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(
,0).
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线y=kx+m(k≠0,m≠0)与双曲线C交于不同的两点M,N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,-1),求实数m的取值范围.
【回答】
解:(1)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
由已知得a=
,c=2,
又a2+b2=c2,得b2=1,
故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)联立
整理得(1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0.
因为直线与双曲线有两个不同的交点,
所以
可得m2>3k2-1且k2≠.①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点为B(x0,y0),
则x1+x2=
,x0=
=
,
y0=kx0+m=
,
由题意得,AB⊥MN,
kAB=
=-(k≠0,m≠0),
整理得3k2=4m+1,②
将②代入①,得m2-4m>0,
所以m<0或m>4,
又3k2=4m+1>0(k≠0),即m>-.
所以m的取值范围是(-,0)∪(4,+∞).
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
