问题详情：
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），左顶点为．
（1）求双曲线C的方程
（2）若直线y=kx+m（k≠0，m≠0）与双曲线C交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，﹣1），求实数m的取值范围．
【回答】
【考点】双曲线的应用；双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题．
【分析】（1）设双曲线的标准方程，依题意可知a和c，进而根据a2+b2=c2求得b，则双曲线方程可得．
（2）把直线方程与双曲线方程联立，消去y，利用判别式大于0求得m和k的不等式关系，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为B（x0，y0）．根据韦达定理表示出x0和y0，根据AB⊥MN，可知AB的斜率为﹣，进而求得k和m的关系，最后综合可求得m的范围．
【解答】解：（I）设双曲线方程为
由已知得
故双曲线C的方程为．
（II）联立
整理得（1﹣3k2）x2﹣6kmx﹣3m2﹣3=0．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴
可得m2＞3k2﹣1．①
设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为B（x0，y0）．
整理得3k2=4m+1．②
将②代入①，得m2﹣4m＞0，∴m＜0或m＞4．
又3k2=4m+1＞0（k≠0），即m＞﹣．
∴m的取值范围是（﹣，0）∪（4，+∞）．
【点评】本题主要考查了双曲线的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
