问题详情：
已知双曲线
的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线
相切.
(Ⅰ) 求双曲线
的方程；
（Ⅱ）已知点
为双曲线
的左焦点，试问在
轴上是否存在一定点
，过点
任意作一条直线交双曲线
于
两点，使
为定值？若存在，求出此定值和所有的定点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【回答】
解：(Ⅰ)
所以双曲线
的方程为
； ……………4分
（Ⅱ）解法一：当直线为
时，
……………………5分
当直线不是
时，可设
代入
整理得
……………………7分
由
得
设方程
的两个根为
满足
………9分
当且仅当
时，
为定值，
解得
，
不合题意，舍去，
而且
满足
；
综上得：过定点
任意作一条直线交双曲线
于
两点，
使
为定值. ………12分
解法二： 前同解法一，得
…………………9分
由
得
，
解得
，下同解法一. …………………………………………………12分
解法三： 当直线不垂直
轴时，设
代入
整理得
…………7分
由
得
设方程
的两个根为
满足
……9分
当且仅当
时，
为定值，
解得
，
不合题意，舍去，而且
满足
； …10分
当直线
轴时，
代入
得
………11分
综上得：（结论同解法一） ………………………………………12分
（注：第（II）题有一般*结论）
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
